Question

已知數列{a_n}的前6項如下表所示，其中奇數項成等差數列，偶數項成等比數列．

n	1	2	3	4	5	6	…
an	1	2	3	4	5	8	…

（1）寫出數列{a_n}的通項公式（不要求推理過程）；
（2）當n是偶數時，求S_n=a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_n-1a_n；
（3）當n是奇數時，求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意，當n是奇數時，顯然有a_n=n；當n是偶數時，有a_n=2

n

2

；即可得出．
（2）利用“錯位相減法”即可得出．
（3）當n是奇數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1），分別利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）由題意，當n是奇數時，顯然有a_n=n；
當n是偶數時，有a_n=2

n

2

；
故通項an=

n，n為奇數 2 n 2 ，n為偶數

．

（2）當n是偶數時，S_n=a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_n-1a_n
=1×2+3×2²+…+(n-1)×2

n

2

，
則2S_n=1×2²+3×2³+…+(n-1)×2

n

2

+1，
兩式相減可得：-S_n=1×2+2×(22+23+…+2

n

2

)-(n-1)×2

n

2

+1
=2+2×

4(2 n 2 -1-1)

2-1

-(n-1)×2

n

2

+1
=-(n-3)×2

n

2

+1-6，
∴Sn=(n-3)×2

n

2

+1+6．
（3）當n是奇數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=(1+3+5+…+n)+(2+22+23+…+2

n-1

2

)
=

n+1

2

×

1+n

2

+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=(

n+1

2

)2+2

n+1

2

-2．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．