Question

已知數列

1

1×3

，

1

3×5

，

1

5×7

，…，

1

(2n-1)(2n+1)

，…，計算S₁，S₂，S₃，根據計算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法給出證明．

Answer 1

分析：利用數列的前三項，可計算S₁，S₂，S₃，從而可猜想S_n的表達式，利用數學歸納法進行證明，關鍵是第二步假設n=k時，猜想成立，再使用歸納假設，證明n=k+1時，猜想成立．

解答：解：S1=

1

3

，S2=

1

1×3

+

1

3×5

=

2

5

，S3=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

3

7

…（2分）
猜想Sn=

n

2n+1

…（4分）
以下用數學歸納法證明這個猜想
（1）當n=1時，左邊=S₁=

1

3

，右邊=

n

2n+1

=

1

3

，猜想成立；
（2）假設n=k時，猜想成立，即Sk=

k

2k+1

，
那么當n=k+1時

Sk+1=Sk+ 1 (2k+1)(2k+3) = k 2k+1 + 1 (2k+1)(2k+3) = 2k2+3k+1 (2k+1)(2k+3) = (k+1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) = k+1 2(k+1)+1

∴n=k+1時猜想也成立…（11分）
由（1）（2）可知猜想對任意n∈N^*成立…（12分）

點評：本題考查數學歸納法的運用，解題的關鍵是利用數學歸納法進行證明，第二步要使用歸納假設．