Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點、.

（1）求直線的斜率的取值范圍；

（2）設為原點，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值2，理由見解析.

【解析】

（1）將點P代入拋物線方程，即可求得p的值，設直線AB的方程，代入拋物線方程，由△＞0，排除特殊情況，即可求得k的取值范圍；

（2）根據向量的共線定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直線PA的方程，令x＝0，求得M點坐標，同理求得N點坐標，根據韋達定理和向量的坐標表示，即可求得λ+μ為定值．

（1）拋物線C：y2＝2px經過點P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，

根據題意得過點（0，1）的直線斜率存在，設方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；

聯立方程，，可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，

∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，

故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）；

（2）設點M（0，yM），N（0，yN），則 （0，1﹣yM），（0，1）；

因為λ，所以1＝λ（1﹣yM），故λ，同理μ，

直線PA的方程為y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），

令x＝0，得yM，同理可得yN，

因為λ+μ

2，

即有λ+μ為定值2．