Question

設函數y＝f(x)對任意實數x，都有f(x)＝2f(x＋1)，當x∈[0，1]時，f(x)＝x²(1－x)．

(Ⅰ)已知n∈N₊，當x∈[n，n＋1]時，求y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)求證：對于任意的n∈N₊，當x∈[n，n＋1]時，都有|f(x)|≤；

(Ⅲ)對于函數y＝f(x)(x∈[0，＋∞)，若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x＋y＝1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由f(x)＝2f(x＋1)→f(x)＝(x－1)，x∈[n，n＋1]，則(x－n)∈[0，1]→f(x－n)＝(x－n)2(1＋n－x)．f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝…＝f(x－n)＝(x－n)2(1＋n－x)．(n＝0也適用)．4分 　　(Ⅱ)(x)＝，由(x)＝0得x＝n或x＝n＋ 　　f(x)的極大值為f(x)的最大值，， 　　又f(x)≥f(n)＝f(n＋1)＝0，∴|f(x)|＝f(x)≤(x∈[n，n＋1])．8分 　　(Ⅲ)y＝f(x)，x∈[0，＋∞即為y＝f(x)，x∈[n，n＋1]，(x)＝－1． 　　本題轉化為方程(x)＝－1在[n，n＋1]上有解問題 　　即方程在[n，n＋1]內是否有解．11分 　　令g(x)＝， 　　對軸稱x＝n＋∈[n，n＋1]， 　　又△＝…＝，g(n)＝，g(n＋1)＝， 　　①當0≤n≤2時，g(n＋1)≥0，∴方程g(x)＝0在區間[0，1]，[1，2]，[2，3]上分別有一解，即存在三個點P； 　　②n≥3時，g(n＋1)＜0，方程g(x)＝0在[n，n＋1]上無解，即不存在這樣點P． 　　綜上所述：滿足條件的點P有三個．16分