Question

（本小題滿分13分）如圖，四面體中，是的中點，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（I）證明：．

連接．

，又

              即        平面．

（II）方法1  取的中點，的中點，為的中點，或其補角是與所成的角．∴連接是斜邊上的中線，，

．在中，由余弦定理得，∴直線與所成的角為．

（Ⅲ）方法l  平面，過作于，連接,

              是在平面上的射影，由三垂線定理得．

              是二面角的平面角，，又．

在中，，．

∴二面角為．

（II）方法2建立空間直角坐標系．則

．

．∴直線與所成的角為．

（Ⅲ）方法2在坐標系中，平面的法向量．

設平面的法向量，則，

求得，

∴二面角為．