Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與-

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)離心率分別為e₁，e₂，則當a，b變化時，e₁+e₂最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：先根據雙曲線的標準方程求出e₁和e₂，根據

1

e 1 2

+

1

e 2 2

=1 并利用基本不等式求出e₁e₂≥2，再由e₁+e₂ 
≥ 2

e1e2

≥2

2

，求出其最小值．

解答：解：由題意可得 e₁=

a2+b2

a

=

c

a

，e₂ =

a2+b2

b

=

c

b

，
∴

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=

a2

c2

+

b2

c2

=1≥2

1

e1e2

，∴e₁e₂≥2，
∴e₁+e₂ ≥2

e1e2

=2

2

，當且僅當a=b時，等號成立．
故e₁+e₂最小值為 2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程以及雙曲線的簡單性質的應用，求出e₁和e₂之后，根據a，b，c之間的數量關系
利用均值不等式推導e₁+e₂的最小值．