Question

（2007•河北區一模）已知函數f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，2），且在x=1處的切線方程是y=-4x+

15

4

．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（Ⅲ）求函數y=f（x）在區間[-4，1]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（0）=2，f'（1）=-4，f（1）=-

1

4

，從而得到三個方程，解出即可；
（Ⅱ）只需解不等式f'（x）＜0即可；
（Ⅲ）求出極值、斷點處函數值，然后進行比較大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值；

解答：解：（Ⅰ）由題意知f'（x）=4ax³+2bx，f（0）=2，f'（1）=-4，f（1）=-

1

4

，
∴

c=2 4a+2b=-4 a+b+c=- 1 4

．解得a=

1

4

，b=-

5

2

，c=2．
∴f（x）=

1

4

x⁴-

5

2

x²+2． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f'（x）=x³-5x，
由x³-5x＜0，得x∈（-∞，-

5

）∪（0，

5

），
∴f（x）的單調遞減區間為（-∞，-

5

）和（0，

5

）． 
（Ⅲ）∵在區間[-4，1]上有f′(-

5

)=0，f'（0）=0，
∴解得f（-4）=26，f(-

5

)=-

17

4

，f（0）=2，f（1）=-

1

4

．
∴在區間[-4，1]上函數y=f（x）的最大值為26，最小值為-

17

4

．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性及極值、最值，考查學生的運算求解能力，注意多個減區間或增區間不能寫成并集形式．