Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)均在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率e的取值范圍為______．

Answer 1

∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∴兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．
∵點(diǎn)F₁'與F₂'都在橢圓的內(nèi)部，
∴

02

a2

+

c2

b2

＜1，即

c2

a2-c2

＜1，解之得a＞

2

c，因此可得e=

c

a

＜

2

2

，
又∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴該橢圓的離心率e∈（0，

2

2

）．
故答案為：（0，

2

2

）