Question

【題目】已知函數f（x）=xex﹣lnx（ln2≈﹣0.693， ≈1.648，均為不足近似值）
（1）當x≥1時，判斷函數f（x）的單調性；
（2）證明：當x＞0時，不等式f（x）＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）=xex﹣lnx求導得f′（x）=（x+1）ex﹣ ，

∵x≥1時，（x+1）ex≥2e， ≤1，

∴f′（x）≥2e﹣1＞0，

∴f（x）在[1，+∞）遞增

（2）證明：∵f′（ ）=1.25 ﹣4＜1.25×2﹣4＜0，

f′（ ）= ﹣2＞ ×1.648﹣2=0.472＞0，

又f′（x）在（0，+∞）遞增，

∴f′（x）在（0，+∞）內有唯一1個零點x0，

且（x0+1） = ，x0∈（ ， ），

∴x=x0是f（x）在（0，+∞）上唯一的極小值點，也是最小值值點，

∴f（x）≥f（x0）=x0 ﹣lnx0= ﹣lnx0， ＜x0＜ ，

∴f（x）在[ ， ]遞減，

∴f（x0）≥f（ ）= +ln2＞ +0.639＞1.359＞ ，

∴f（x）＞

【解析】（1）求出函數的導數，判斷導函數的符合，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．