Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，.橢圓C的長軸與焦距之比為，過的直線l與C交于A、B兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)l的斜率為1時(shí)，求的面積；

（3）當(dāng)線段的垂直平分線在y軸上的截距最小時(shí)，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）12（3）.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.

（2）求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得三角形的面積.

（3）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡后寫出韋達(dá)定理，求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)線段的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為，根據(jù)求得關(guān)于的表達(dá)式，由此求得的最小值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）依題意，因，又，得，

所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)、，當(dāng)時(shí)，直線l：，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去x得，，解得，，，

所以.

（3）設(shè)直線l的斜率為k，由題意可知，由，消去y得，恒成立，，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，

設(shè)線段的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為，則，得.

，整理得：，，等號(hào)成立時(shí).故當(dāng)截距m最小為時(shí)，，此時(shí)直線l的方程為.