Question

曲線x²+y²+6x-8y+1=0，若直線4ax-3by+6=0（a、b∈R）始終平分此曲線的周長，則ab的取值范圍是

（-∞，

1

16

）

．

Answer 1

分析：觀察曲線方程發現此曲線為一個圓，化為標準方程找出圓心坐標，由直線始終平方圓的周長，得到直線恒過圓心坐標，把圓心坐標代入直線方程得到a+b的值，若a與b都大于0，根據基本不等式即可求出ab的范圍；若a與b不同時大于0，不需滿足此條件，因為題意為始終成立，從而ab必須滿足此范圍，綜上，得到ab的取值范圍．

解答：解：把曲線x²+y²+6x-8y+1=0化為標準方程得：（x+3）²+（y-4）²=24，
得到曲線為圓心（-3，4）的圓，
由題意可知直線過圓心，則把圓心坐標代入直線方程得：
-12a-12b+6=0，解得：a+b=

1

2

，
若a＞0，b＞0時，a+b＞2

ab

，則ab＜

(a+b)2

4

=

1

16

；
若a和b不同時大于0，ab可不須滿足此條件，
綜上，ab的取值范圍是（-∞，

1

16

）．
故答案為：（-∞，

1

16

）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，用到的知識有基本不等式，圓的標準方程，其中判斷出曲線方程為圓，根據題意得出已知直線恒過圓心坐標是解本題的關鍵．