Question

15．若函數f（x）=ax³-ax²+x在區間（-1，0）上恰有一個極值點，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

Answer 1

分析 由于函數f（x）=ax³-ax²+x在區間（-1，0）上恰有一個極值點，所以f′（-1）f′（0）＜0，進而驗證a=-1與a=0時是否符合題意，即可求答案．

解答 解：由題意，f′（x）=3ax²-2ax+1，
a≠0時，當f′（-1）f′（0）＜0即5a+1＜0時，
函數f（x）在區間（-1，0）上恰有一個極值點，
解得：a＜-$\frac{1}{5}$，
當a=-1時，f′（x）=-3x²+2x+1=0，在（-1，0）上恰有一根x=-$\frac{1}{3}$，
當a=0時，f′（x）＞0，函數無極值點，
綜上，a∈（-∞，-$\frac{1}{5}$）或a=-1，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

點評 考查利用導數研究函數的極值問題，體現了數形結合和轉化的思想方法．