Question

已知f（x）=log_mx（m為常數，m＞0且m≠1），設f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首項為4，公差為2的等差數列．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），記數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=

2

時，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，問是否存在實數m，使得{c_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的通項公式可求得f（x）的解析式，進而求得a_n，進而根據

an+1

an

=m2推斷出數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列
（2）把（1）中的a_n代入b_n=a_nf（a_n）求得b_n，把m代入，進而利用錯位相減法求得S_n．
（3）把a_n代入c_n，要使c_n-1＜c_n對一切n≥2成立，需nlgm＜（n+1）•m²•lgm對一切n≥2成立，進而根據m的不同范圍求得答案．

解答：解：（1）由題意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴

an+1

an

=

m2(n+1)+2

m2n+2

=m2
∵m＞0且m≠1，
∴m²為非零常數，
∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列
（2）由題意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
當m=

2

時，bn=(2n+2)•2n+1=(n+1)•2n+2
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-23-

23[1-2n]

1-2

+(n+1)•2n+3=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n
（3）由題意c_n=a_nlga_n=（2n+2）•m²ⁿ⁺²lgm，要使c_n-1＜c_n對一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m²•lgm對一切n≥2成立，
①當m＞1時，n＜（n+1）m²對n≥2成立；
②當0＜m＜1時，n＞（n+1）m²
∴n＞

m2

1-m2

對一切n≥2成立，只需

m2

1-m2

＜2，
解得-

6

3

＜m＜

6

3

，考慮到0＜m＜1，
∴0＜m＜

6

3

．
綜上，當0＜m＜

6

3

或m＞1時，數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項

點評：本題主要考查了等比關系的確定．涉及了數列的求和，不等式知識等問題，考查了學生分析問題的能力．