Question

數列{a_n}中，前n項和S_n=3ⁿ+1，
（1）求a₁；
（2）求通項公式a_n；
（3）該數列是等比數列嗎？如不是，請說明理由；如是，請給出證明，并求出該等比數列的公比．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（1）在S_n=3ⁿ+1中令n=1，則a₁=4…..（3分）
（2）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1-（3^n-1+1）=2×3^n-1，而a₁=4…（8分）
所以通項公式為…..（10分）
（3）這個數列不是等比數列，因為：a₁=4，a₂=6，a₃=18，與a₂²=a₁a₃矛盾．…..（12分）
分析：（1）直接利用已知關系式，令n=1時，解出a₁；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，然后驗證n=1時是否滿足所求，即可求通項公式a_n；
（3）通過數列的前3項，即可判斷數列不是等比數列．
點評：本題是中檔題，開始數列的遞推關系式的應用，考查通項公式的求法，考查數列的判斷，注意通項公式的求解與驗證，是解題的易錯點．