Question

如題19圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面ABCD是邊長為a的正方形，AA₁=a，且點A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點．
（I）證明：B₁D⊥面A₁CB；
（II）求二面角A₁-BC-B₁的大小．

Answer 1

解：（I）∵點A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點，∴點B₁在下底面ABCD上的射影恰為C點．
即B₁C⊥面ABCD，∴B₁C⊥BC 又BC⊥CD，BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁D，又AA₁=a，AD=a，
∴A₁D=a，即A₁B₁CD為正方形，∴B₁D⊥A₁C，∴B₁D⊥面A₁CB．
（II）法一：BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁為二面角A₁-BC-B₁的 平面角，
設(shè)A₁C∩B₁D=O，則B₁C=A₁D=a B₁D=a，∴B₁O=，∴sin∠B₁CA₁==，∠B₁CA₁=45°，
∴二面角A₁-BC-B₁的大小是45°．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），B（a，a，0），C（0，a，0）
=（0，a，-a） =（-a，0，0）=（0，0，-a）
設(shè)平面A₁BC的法向量為=（x，y，z，）則即
令y=1，得=（0，1，1）
設(shè)平面B₁BC的法向量為 =（x′，y′，z′），則即，
令y′=1，得=（0，1，0）
cos＜＞==，＜＞=45°，又二面角A₁-BC-B₁的為銳二面角，所以其大小為45°．
分析：（I） 由已知，點A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點，點B₁在下底面ABCD上的射影恰為C點．易證BC⊥面B₁DC，得出BC⊥B₁D，再根據(jù)，又AA₁=a，AD=a，求出A₁D=a，判斷出A₁B₁CD為正方形，再得出 B₁D⊥A₁C，且BC∩A₁C=C，于是B₁D⊥面A₁CB；
（Ⅱ）法一：在（I）的基礎(chǔ)上，已有BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁為二面角A₁-BC-B₁的 平面角，設(shè)A₁C∩B₁D=O，利用sin∠B₁CA₁==，求得∠B₁CA₁=45°；
法二：以D點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A₁BC的法向量為，平面B₁BC的法向量為 ，利用＜的夾角求出二面角A₁-BC-B₁的大小．
點評：本題考查直線和平面垂直關(guān)系，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（空間問題平面化）空間想象能力，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證與求解演變成了代數(shù)運算，降低了思維難度，使人們解決問題更加方便．