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如圖：正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．
（1）證明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，
∴DC⊥AB．…（5分）
（2）過C作CE⊥AB于E，連接ED，
∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，
∴AB⊥平面ECD，
又DE?平面ECD，∴AB⊥ED，
∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角，…（9分）
設CD=a，則BC=
a
tan30°
=
3
a，
∵△ABC是正三角形，
∴EC=BCsin60°=
3a
2
，
在Rt△DEC中，tan∠DEC=
DC
EC
=
a
3a
2
=
2
3
．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a，M為棱A1C1上的動點．
（1）當M在何處時，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

A、B是直二面角α-l-β的棱l上的兩點，分別在α，β內作垂直于棱l的線段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的長為（　　）
A．1B．2C．
2
D．
3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是BD中點．
（Ⅰ）求證：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此幾何體的體積V的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，側棱與底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，BC=
2
，AA′=
6
2
．
（I）求證：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中點，點N在CC1上．
（1）試確定點N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當AB1⊥MN時，求二面角M-AB1-N的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知三個互不重合的平面且 ，給出下列命題：
①則                   ②則
③若則                 ④若則
其中正確命題的個數為（ ）.
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，有下列四個命題：
①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，則m⊥β.
其中正確命題的序號是(　　)
A．①③B．①②C．③④D．②③

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