Question

某廠生產一種儀器，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知該廠生產這種儀器，次品率p與日產量x（件）之間大體滿足關系：P=

1 96-x (1≤x≤94，x∈N) 2 3      (x＞94，x∈N)

已知每生產一件合格的儀器可盈利A元，但每生產一件次品將虧損

A

2

元，廠方希望定出適當的日產量．
（1）試判斷：當日產量（件）超過94件時，生產這種儀器能否贏利？并說明理由；
（2）當日產量x件不超過94件時，試將生產這種儀器每天的贏利額T（元）表示成日產量x（件）的函數；
（3）為了獲得最大利潤，日產量x件應為多少件？

Answer 1

分析：（1）分別求出當x＞94時，合格品的贏利總額與次品的虧損總額，兩者比較可得生產這種儀器能否贏利；
（2）分別求出每日生產的合格品數與次品數，然后根據每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可得到；
（3）由（1）可知，日產量超過94件時，不能盈利，然后求出當1≤x≤94時生產這種儀器每天的贏利額T（元）的函數解析式，最后利用基本不等式可求出最值，從而求出所求．

解答：解：（1）當x＞94時，p=

2

3

，由題意可知，每日生產的合格品約為

1

3

x件，次品約為

2

3

x件，合格品共可贏利

1

3

xA元，次品共虧損

2

3

x•

A

2

=

1

3

xA元．
因盈虧相抵，故當日產量超過94件時，不能贏利．
（2）當1≤x≤94時，p=

1

96-x

，
∵每日生產的合格品約為x（1-

1

96-x

）件，次品約為

x

96-x

件，
∴T=x（1-

1

96-x

）A-

x

96-x

•

A

2

=[x-

3x

2(96-x)

]A（1≤x≤94）．
（3）由（1）可知，日產量超過94件時，不能盈利．
當1≤x≤94時，T=（x+

3

2

-

144

96-x

）A=[97

1

2

-（96-x）-

144

96-x

]A．
∵x≤94，96-x＞0，
∴T≤[97

1

2

-2

(96-x)• 144 96-x

]A=

147

2

A＞0
當且僅當（96-x）=

144

96-x

時，即x=84時，等號成立．
故要獲得最大利潤，日產量應為84件．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用基本不等式求得函數的最值問題，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．