Question

已知真命題：“函數f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”．根據上述依據，寫出函數g（x）=log₂

2x

4-x

 圖象對稱中心的坐標

 

．

Answer 1

分析：設g（x）=log₂

2x

4-x

 的對稱中心為點P（a，b），則函數f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函數，利用奇函數的定義域關于原點對稱，且f（-x）+f（x）=0，求出a，b的值，可得答案．

解答：解：設g（x）=log₂

2x

4-x

 的對稱中心為點P（a，b）
則函數f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函數
由函數的定義域，即不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集關于原點對稱，可得a=2
此時f（x）=log₂

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）
由f（-x）+f（x）=log₂

2(-x+2)

2+x

+log₂

2(x+2)

2-x

-2b=2-2b=0得：b=1
故函數g（x）=log₂

2x

4-x

 的對稱中心為點（2，1）
故答案為：（2，1）

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，奇函數的性質，函數圖象的平移變換，難度中檔．