Question

（本小題滿分12分）

       如圖，△VAC中，，將其繞直線VC旋轉得到△VBC，D是AB的中點，

   （Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

   （Ⅱ）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.

   （Ⅲ）當時，在線段VB上能否找到點E使二面角E—CD—B的大小為，若能，求；若不能，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵

∴AC⊥BC，

∵，，

∴VC⊥平面ABC，

以C為坐標原點，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖，則

A（a,0,0）,B(0,a,0),D(,,0)，V（0，0，），

∴=(,,－)，(,,0)， (－a,a,0),

∴,,

∴AB⊥平面VCD,

∵AB平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD，

（Ⅱ）設平面VAB的法向量為，

∴，

，

∴，又，

設直線BC與平面VAB所成角為，

∴，

∵，∴，

∴，

（Ⅲ）當時，V（0，0，），

假設存在點E，則，

∴，

設平面CDE的法向量為，

∴，

∴，

∴，

∵二面角E—CD—B的大小為，

∴，

∴，∴，

故符合題意的.