Question

直線ax-2y-2a+4=0被圓x²+y²-2x-8=0所截得弦長(zhǎng)范圍是

[4，6]

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r，再將直線變形后，得出此直線恒過(guò)B（2，2），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AB|的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)其值小于半徑，故判斷出點(diǎn)B在圓內(nèi)，進(jìn)而得到過(guò)B最長(zhǎng)的弦為直徑；最小的弦長(zhǎng)為與此直徑垂直的弦長(zhǎng)，由此時(shí)直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出最小弦長(zhǎng)所在直線的斜率，由B及求出的斜率寫出此弦所在直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心A到此直線的距離d，由半徑r及d，利用垂徑定理及勾股定理即可求出此時(shí)的弦長(zhǎng)，即為弦長(zhǎng)的最小值，綜上，得到直線被圓截得弦長(zhǎng)的范圍．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+y²=9，
∴圓心坐標(biāo)A為（1，0），半徑r=3，
直線ax-2y-2a+4=0變形為：a（x-2）-2y+4=0，
∴該直線恒過(guò)B（2，2），
∵B（2，2）到圓心A（1，0）的距離|AB|=

(2-1)2+22

=

5

＜3=r，
∴B（2，2）在圓內(nèi)，
當(dāng)直線過(guò)圓心A時(shí)，所截得的弦為直徑，此時(shí)弦長(zhǎng)最大為6；
當(dāng)直線所截得的弦與過(guò)B的直徑垂直時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最小，
∵直線AB的斜率為

2-0

2-1

=2，
∴弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦所在直線的斜率為-

1

2

，又該弦過(guò)B點(diǎn)，
∴該直線的方程為y-2=-

1

2

（x-2），即x+2y-6=0，
∴圓心A到該直線的距離d=

5

5

=

5

，
∴該直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2

r2-d2

=2

9-5

=4，
則直線ax-2y-2a+4=0被圓x²+y²-2x-8=0所截得弦長(zhǎng)范圍是[4，6]．
故答案為：[4，6]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，其中根據(jù)題意找出弦長(zhǎng)的最大值與最小值是解本題的關(guān)鍵．