Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=x²+2x．
（1）求f（0）值；
（2）求此函數在R上的解析式；
（3）若對任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的特性，定義在R的奇函數必過原點，易得f（0）值；
（2）當x＜0，則-x＞0，根據函數為奇函數f（-x）=-f（x）及當x＞0時，f（x）=x²+2x，可得函數在x＜0時的解析式，進而得到函數在R上的解析式；
（3）根據奇函數在對稱區間上單調性相同，結合二次函數的圖象和性質，可分析出函數的單調性，進而將原不等式變形，解不等式可得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）為R上奇函數，所以f（0）=0．
（2）設x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x=-f（x），
∴x＜0時，f（x）=-x²+2x，
∴f(x)=

x2+2x，x≥0 -x2+2x，x＜0

．
（3）∵f（x）=x²+2x在（0，+∞）上為增函數，
且f（0）=0，f（x）為R上奇函數
∴f（x）在R上為增函數，
∴原不等式可變形為：t²-2t＜2t²-k，
對任意t∈R恒成立，
∴k＜（t²-2t）_min=-1
即實數k的取值范圍為（-∞，-1）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合，其中熟練掌握函數奇偶性的性質，及在對稱區間上單調性的關系是解答本題的關鍵．