Question

當α∈（0，π）時，方程x²cosα+y²=1表示的曲線的形狀怎樣變化？

Answer 1

分析：根據cosα符號，對角α分三類進行討論，由直線、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體形狀．

解答：解：由題意可得：
①當0＜α＜

π

2

時，方程x²cosα+y²=1可以化簡為：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：0＜cosα＜1，則

1

cosα

＞1，所以方程x²cosα+y²=1表示中心在原點，焦點在x軸上的橢圓；
②當α=

π

2

時，cosα=0，方程為x²=1，得x=±1表示與y軸平行的兩條直線；
③當

π

2

＜α＜π時，方程x²cosα+y²=1可以化簡為：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：cosα＜0，方程x²cosα+y²=1表示焦點在y軸上的雙曲線．

點評：本題考查了方程含有參數時討論表示的曲線問題，需要根據系數的符號進行分類討論，分別再由直線、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體形狀，考查了分類討論思想