Question

（本小題滿分12分）

   一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B ，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到 ，記為 ；②當從A口輸入自然數時，在B口得到的結果是前一個結果的倍.

（1）當從A口分別輸入自然數2 ，3 ，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想的關系式，并證明你的結論；

（2）記為數列的前項的和。當從B口得到399的倒數時，求此時對應的的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知得  

當時，，  1分

同理可得        ……………（ 2分）

 猜想   ……………（2分）

下面用數學歸納法證明成立

①當時，由上面的計算結果知成立  

②假設時，成立，即 ，

那么當時，

即         

當時，也成立                              

綜合①②所述，對 ，成立。

……………（ 4分）

（2）由（1）可得

                                                  ……………（2分）  

 

……………（2分）               

【解析】略