Question

如圖，在空間中的直角三角形ABC與直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB∥DE，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：四點B、C、F、G共面；
（Ⅱ）求平面ADGC與平面BCGF所組成的二面角余弦值．

Answer 1

分析：（1）設DG的中點為M，連接AM、FM，根據條件可證明BF∥AM，BF=AM，AM∥CG，AM=CG從而得到GC∥BF，且GC=BF，根據平行線可確定一平面可得四點B、C、F、G共面；
（2）在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，根據二面角的平面角的定義可知∠MNF是所求二面角的平面角，在直角三角形MNF中，先求出此角的正切值，然后再求出余弦值．

解答：解（1）設DG的中點為M，連接AM、FM，
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF∥AM，且BF=AM
又∵M為DG的中點，DG=2，AC=1，面ABC∥面DEFG
∴AC∥MG，且AC=MG，即四邊形ACGM是平行四邊形
∴GC∥AM，且GC=AM
故GC∥BF，且GC=BF，
即四點B、C、F、G共面；

（2）∵四邊形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵MF∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為

6

6

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力．