Question

如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且AB=1，BC=2，AA₁=2．求直線B₁C與平面B₁BDD₁夾角的余弦值．

Answer 1

分析：利用已知條件分別求出向量

B1C

和平面B₁BDD₁的法向量

n

，設直線B₁C與平面B₁BDD₁夾角為θ，由公式cosθ=

1-(cos＜ B1C ， n ＞)2

能求出結果．

解答：解：如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∵AB=1，BC=2，AA₁=2，
∴B₁（1，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
∴

B1C

=(0，2，-2)，

BB1

=（0，0，2），

BD

=（-1，2，0），
設平面B₁BDD₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n

•

BB1

=0，

n

•

BD

=0，
∴

2z=0 -x+2y=0

，∴

n

=(2，1，0)，
設直線B₁C與平面B₁BDD₁夾角為θ，
則cosθ=

1-(cos＜ B1C ， n ＞)2

=

1-( 0+2+0 4+4 • 4+1 )2

=

10

10

．
故直線B₁C與平面B₁BDD₁夾角的余弦值為

10

10

．

點評：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．