Question

(本小題滿分14分)

設，是平面直角坐標系上的兩點，現定義由點到點的一種折線距離為

對于平面上給定的不同的兩點，,

（1）若點是平面上的點，試證明

（2）在平面上是否存在點，同時滿足

①    ②

若存在，請求出所有符合條件的點，請予以證明。

Answer 1

（1）證明：由絕對值不等式知，

當且僅當且時等號成立。

（2）解：由得

且               （Ⅰ）

由得      （Ⅱ）

因為，是不同的兩點，則：

  若且，不妨設，

由（Ⅰ）得  且，

由（Ⅱ）得  ，

此時，點是線段的中點，即只有點滿足條件；

  若且，同理可得：只有的中點滿足條件；

  若且，不妨設且，

由（Ⅰ）得且，

由（Ⅱ）得，

        此時，所有符合條件的點的軌跡是一條線段，即：過的中點，斜率為的直線夾在矩形之間的部分，其中，，，。