Question

（2012•杭州二模）正項等比數列{a_n}中，存在兩項am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，且a₇=a₆+2a₅，則

1

m

+

5

n

的最小值是（　　）

• A．

  7

  4

• B．1+

  5

  3

• C．

  25

  6

• D．

  2 5

  3

Answer 1

分析：設正項等比數列的公式為q，已知等式a₇=a₆+2a₅兩邊除以a₅，利用等比數列的性質化簡求出q的值，利用等比數列的通項公式表示出a_m與a_n，代入已知等式

aman

=4a₁，求出m+n=6，將所求式子變形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：∵正項等比數列{a_n}中，設公比為q，a₇=a₆+2a₅，
∴

a7

a5

=

a6

a5

+

2a5

a5

，即q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1（舍去），
∴a_m=a₁2^m-1，a_n=a₁2^n-1，
∵

aman

=4a₁，
∴a_ma_n=a₁²2^m+n-2=16a₁²，即m+n-2=4，
∴m+n=6，即

m+n

6

=1，
∴

1

m

+

5

n

=（

1

m

+

5

n

）•

m+n

6

=

1

6

+

5m

6n

+

n

6m

+

5

6

=1+

1

6

（

n

m

+

5m

n

）≥1+

1

6

×2

5

=1+

5

3

，
當且僅當

n

m

=

5m

n

時取等號，
則

1

m

+

5

n

的最小值為1+

5

3

．
故選B

點評：此題考查了等比數列的通項公式，等比數列的性質，以及基本不等式的運用，熟練掌握通項公式是解本題的關鍵．