Question

【題目】在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，.

證明：平面平面.

設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】證明見解析；.

【解析】

連接，根據(jù)題意可證出平面，，進(jìn)而證出平面，即可證出平面平面；

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面的法向量為，平面的法向量為，進(jìn)而利用公式寫出，進(jìn)而得出結(jié)果.

解：證明：連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以平面，.

因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以，，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，

則，，，

由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得

，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，代入可得

令，，，所以.

設(shè)平面的法向量為，

則，代入可得

令，，，所以.

二面角的大小為，由圖可知，二面角為銳二面角，

所以，

當(dāng)趨于時(shí)，，則，

所以.