Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）+f（-x+4）=0，當x＜2時，f′（x）＜0，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，則 f（x₁）+f（x₂）的值（　�。�

A．恒正

B．恒負

C．可正可負

D．可能等于0

Answer 1

分析：由題設中條件f（x）+f（4-x）=0可得出函數圖象關于點（2，0）為中心對稱，由當x＜2時，f′（x）＜0可得出x＜2時，由此可必出函數的單調性利用單調性，再結合圖象比較大小即可選出正確答案．

解答：解：從f（x）+f（4-x）=0即f（x）=-f（4-x），
則f（x）圖象關于點（2，0）為中心對稱，
并且當x＜2時，函數f（x）為減函數，
做草圖如圖示：
不妨假設x₁＜x₂，由x₁+x₂＜4，
得x₁-2+x₂-2＜0，
又（x₁-2）•（x₂-2）＜0，
得（x₁-2）與（x₂-2）異號，
則x₁，x₂分居于點（2，0）的兩側，
根據x₁＜x₂，于是有|x₁-2|＞|x₂-2|，
根據中心對稱函數為減函數時，距離對稱中心越遠，函數絕對值越大，
則有|f（x₁）|＞|f（x₂）|，
結合圖示得f（x₁）＞-f（x₂），
則f（x₁）+f（x₂）＞0，
故選A．

點評：本題考查函數單調性與導數的關系以及利用單調性比較大小，求解本題的關鍵是根據導數的符號判斷出函數的單調性，在比較大小時根據所給的條件靈活變形，將兩數的大小比較轉化到一個單調區間上比較也很重要，本題考查了轉化化歸的能力與數形結合能力．