Question

直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b＞0），若分別以這兩條邊及斜邊為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的體積分別為V_a，V_b，V，試比較V_a，V_b，V的大小．

Answer 1

分析：直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，分別以這兩條邊及斜邊為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體分別為圓錐、圓錐和兩個圓錐的組合體，分別找到各個圓錐的底面半徑和高，求出它們的體積V_a，V_b，V，再由a＞b＞0，能比較V_a，V_b，V的大小．

解答：解：∵直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，
分別以這兩條邊及斜邊為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的體積分別為V_a，V_b，V，
∴V_a=

1

3

×πb2×a=

ab2

3

π，
V_b=

1

3

×πa2×b=

a2b

3

π，
∵直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，
∴直角三角形的斜邊長為

a2+b2

，斜邊上的高為

ab

a2+b2

，
∴V=

1

3

×π(

ab

a2+b2

)2×

a2+b2

=

a2b2 a2+b2

3(a2+b2)

π，
∵a＞b＞0，
∴V＜V_a＜V_b．

點評：本題考查旋轉體的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．