Question

【題目】已知橢圓過點且離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，設橢圓的右頂點為，，是橢圓上異于點的兩點，直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否經過一個定點？若是，則求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，直線過定點．

【解析】

（1）由題意結合橢圓的性質可得，解出，后即可得解；

（2）設直線的方程為，，，聯立方程可得，，由題意可得，化簡后可得或，分別代入直線方程即可得解.

（1）由題意可得，解得，，

則橢圓的方程為．

（2）由題意，直線的斜率存在，，

設直線的方程為，，，

聯立得，

．

，，

直線，的斜率分別為，，，

，

，

化簡得，

，

化簡得，即，

解得或．

將代入中，解得，

當時，直線的方程為，直線過定點；

當時，直線的方程為，直線過定點，不符合題意．

故直線過定點．