Question

已知函數f(x)=|x-a|,g(x)=x²+2ax+1(a為正常數),且函數f(x)與g(x)的圖象在y軸上的截距相等.

(1)求a的值；

(2)求函數f(x)+g(x)的單調遞增區間；

(3)若n為正整數，證明10^f(n)·()^g(n)＜4.

Answer 1

(1)解:由題意，f(0)=g(0),|a|=1,又a＞0,所以a=1.

(2)解:f(x)+g(x)=|x-1|+x²+2x+1.

    當x≥1時，f(x)+g(x)=x²+3x,它在［1,+∞)上單調遞增；

    當x＜1時，f(x)+g(x)=x²+x+2,它在［-,1］上單調遞增.

(3)證明:設c_n=10^f(n)·()^g(n),考查數列{c_n}的變化規律,

    解不等式＜1,由c_n＞0,上式化為10·()²ⁿ⁺³＜1,

    解得n＞≈3.7.因n∈N^*，得n≥4,于是c₁≤c₂≤c₃≤c₄.而c₄＞c₅＞c₆＞…,

所以10^f(n)·()^g(n)≤10^f(4)·()^g(4)=10³·()²⁵＜4.