Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在正數(shù)a，使得時，，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）時，在上遞增；時，在上遞減，在上遞增.（2）或.

【解析】

（1）求得的導函數(shù)，將分成和兩種情況，討論的單調(diào)性.

（2）將分成、和三種情況，結合（1）中的結論，化簡，然后利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)，求得實數(shù)的取值范圍.

（1）.當時，，在上遞增.當時，令解得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增.

（2），

①當時，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，即，也即，令，則.因為，，所以，所以，所以在上遞增，，所以存在，在上成立.

②當時，，由（1）知在上遞減，在上遞增，所以在上遞增，，所以，所以，即，也即.令，則.令，解得，因為，所以，所以在上遞減，，不符合.

③當時，.因為在上遞減，在上遞增，存在，時，，所以，要使，只需，即.令，則，令，得.當時，，在上遞增，，不成立.當時，，存在，使得在上遞減，，成立.

綜上所述，或.