Question

如圖，已知∠A=60°，P、Q分別是∠A兩邊上的動點．
（1）當AP=1，AQ=3時，求PQ的長；
（2）已知AP+AQ=4，當線段AP為何值時，線段PQ取得最小值，并求線段PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由A的度數求出cosA的值，利用余弦定理得到PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，將AP，AQ及cosA的值代入求出PQ的長即可；
（2）設AP=x，AQ=y，由AP+AQ=4，得到x+y=4，利用余弦定理得到PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，將設出的AP，AQ代入并利用完全平方公式變形后，把x+y的值代入并利用基本不等式變形，即可求出當且僅當x=y，即AP=BP=2時，PQ取得最小值，最小值是2．

解答：解：（1）∵∠A=60°，AP=1，AQ=3，
∴由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA=7，
∴PQ=

7

；
（2）設AP=x，AQ=y，由AP+AQ=4，得到x+y=4，
∵∠A=60°，
∴PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA=x²+y²-xy=（x+y）²-3xy=16-3xy，
∵

xy

≤

x+y

2

=2（x＞0，y＞0），
∴xy≤4，
∴PQ²=16-3xy≥16-3×4=4，
則當且僅當x=y，即AP=BP=2時，PQ取得最小值，最小值是2．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運用，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．