Question

點M（x，y）是不等式組

0≤x≤ 3 y≤3 x≤ 3 y

表示的平面區域Ω內的一動點，使Z=y-2x的值取得最小的點為A（x₀，y₀），則

OM

•

OA

（O為坐標原點）的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：畫出滿足約束條件

0≤x≤ 3 y≤3 x≤ 3 y

的平面區域Ω，然后利用角點法求出滿足條件使Z=y-2x的值取得最小的點A的坐標，結合平面向量的數量積運算公式，即可得到結論．

解答：解：滿足約束條件

0≤x≤ 3 y≤3 x≤ 3 y

的平面區域Ω如下圖所示：
由圖可知，當x=

3

，y=1時，Z=y-2x取得最小值1-2

3

故

OA

=（

3

，1）
設

OM

=（x，y）
則

OM

•

OA

=

3

x+y，
則當M與O重合時，

OM

•

OA

取最小值0；
當M點坐標為（

3

，3）時，

OM

•

OA

取最大值6
故則

OM

•

OA

（O為坐標原點）的取值范圍是[0，6]
故答案為：[0，6]

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，及平面向量的數量積的運算，其中根據約束條件畫出可行域，進而根據角點法求出最優解是解答本題的關鍵．