Question

設(shè)函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n給出下列四個命題：
①當(dāng)m=0時，h（x）=0只有一個實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)n=0時，y=h（x）為偶函數(shù)；
③函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對稱；
④當(dāng)m≠0，n≠0時，方程h（x）=0有兩個不等實(shí)根．
上述命題中，所有正確命題的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：①可根據(jù)h（x）在R上單調(diào)性和值域確定h（x）=0只有一個實(shí)數(shù)根正確；
②當(dāng)n=0時，h（x）=x|x|+mx，再由函數(shù)奇偶性的定義可判斷為奇函數(shù)；
③分別表示出h（x）與h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n，即可得到函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對稱，從而看判斷正誤；
④令m＞0，n＞0，然后畫出函數(shù)h（x）的圖象可判斷方程h（x）=0有兩個不等實(shí)根不正確．

解答：解：當(dāng)m=0時，h（x）=

x2+n，x≥0 -x2+n，x＜0

函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且值域為R，
故h（x）=0只有一個實(shí)數(shù)根正確，即①正確；
當(dāng)n=0時，函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，②不正確；
∵h(yuǎn)（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對稱，故③正確；
當(dāng)m＞0，n＞0時，h（x）=2+mx+n，x≥0-x²+mx+n，x＜0，圖象如圖
h（x）=0只有1個實(shí)根，④不正確．
故選C．

點(diǎn)評：本土主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二次函數(shù)的根的個數(shù)的判定和對稱性．