Question

已知x∈R設f（x）是奇函數，g（x）是偶函數并且f（x）-g（x）=x²-x³
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）-g（x）=x²-x³ ①，f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，可得f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）=x²+x³ ②．由①、②解得f（x）的解析式．
（2）設x₁＜x₂，化簡 f（x₁）-f（x₂）為 （x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]，小于零，可得 f（x₁）＜f（x₂），函數f（x）是R上的減函數．

解答：解：（1）∵f（x）-g（x）=x²-x³ ①，因為f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，
所以，f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）=x²+x³  ②．
由①、②解得f（x）=-x³．
（2）f（x）是單調減函數．
證明：設x₁＜x₂，則 f（x₁）-f（x₂）=-x13-（-x23 ）=-（x₁-x₂）（x12+x₁•x₂+x22 ）=-（x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]，
再由題設可得，（x₁-x₂）＜0，（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]＞0，∴-（x₁-x₂）（[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]＞0，
即  f（x₁）＞f（x₂），故函數f（x）在R上是減函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，求函數的解析式，函數的單調性的判斷和證明，屬于中檔題．