Question

【題目】已知函數(shù)為正常數(shù)．

⑴若，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵在⑴中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，試證明： ．

⑶若，且對任意的， ，都有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為. （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由題意先求出 的解析式，然后求其導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于 ，解出的即為函數(shù)的增區(qū)間；（2）對于當(dāng) 時(shí)，先求出 的解析式，然后求導(dǎo)函數(shù)，得到 ，在利用斜率公式求出過這兩點(diǎn)的斜率公式，利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（3）因?yàn)?/span> ，且對任意 ，都有 ，先寫出 的解析式，利用該函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解.

試題解析：⑴∵a，令得x>3或0<x<,∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

⑵證明：當(dāng)時(shí)∴, ∴,又

不妨設(shè) ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又∵，∴ 即比較與的大小． 令,則,

∴在上位增函數(shù)．又，∴， ∴，即

⑶∵，∴ 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù)．

當(dāng)， ∴由在恒成立．設(shè)， ，則∴在上為增函數(shù)，∴.

當(dāng)，∴ 由

在恒成立

設(shè) ， 為增函數(shù),∴綜上：a的取值范圍為