Question

若a，b，c是△ABC中A，B，C的對邊，A、B、C成等差數列，a，b，c成等比數列，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：由已知角A，B，C成等差數列可求B=60°，A+C=120°，再由a，b，c成等比數列可得b²=ac，結合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用二倍角及輔助角公式整理可得sin（2A-30°）=1，
故有 A=60°，故B=C=60°，從而得到△ABC是等邊三角形．

解答：解：△ABC中，∵A、B、C成等差數列，可得2B=A+C． 再由A+B+C=180°可得，B=60°，A+C=120°．
由a，b，c成等比數列可得b²=ac，由正弦定理可得sin²B=sinAsinC，
即  

3

4

=sinAsin（120°-A）=

3

2

sinAcosA+

1

2

sin2A=

3

4

sin2A-

cos2A

4

+

1

4

．
整理可得，sin（2A-30°）=1，故有 A=60°，
∴B=C=60°，故△ABC是等邊三角形．

點評：解三角形的常見類型是結合正弦定理、余弦定理，三角形的內角和、大邊對大角等知識綜合應用，而二倍角公式及輔助角公式是經常用到的公式，要注意掌握，屬于中檔題．