Question

已知a，b，c都是實數，證明ab<0是關于x的方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)充分性: 若ac<0，則Δ=b2－4ac>0，方程ax2+bx+c=0有兩個相異的實根，設為x1，x2，∵ac<0. ∴x1·x2=<0，即x1，x2的符號相反，方程有一個正根和一個負根. (2)必要性: 若方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根，設為x1，x2，不妨設x1<0，x2>0.則x1x2=<0.∴ab<0 由(1)、(2)知ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.