Question

設z₁=1-cosθ+isinθ,z₂=()²+i,問在(0,2π)內是否存在θ,

       (1)使z₁-z₂為實數?

       (2)使z₁-z₂為純虛數?

      

Answer 1

解析:(1)∵z₁-z₂=1-cosθ-()²+(sinθ-)i,?

       ∴若z₁-z₂為實數,則sinθ-=0.?

       ∴sinθ=0或=1,?

       即sinθ=0或cosθ=0.?

       又∵θ∈(0,2π),?

       ∴θ=π或θ=或θ=.?

       故存在θ=,π, ,使z₁-z₂為實數.?

       (2)若z₁-z₂為純虛數,則?

       1-cosθ-()²=0,①?

       且θ≠π且θ≠,θ≠,?

       解①得3cos²θ-3cosθ=0,∴cosθ=0.?

       ∴θ=或.      又θ≠且θ≠,?∴這樣的θ不存在.