Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由R上奇函數的性質可得f（0）=0，由此可求得b值；
（Ⅱ）定義法：由（Ⅰ）寫出f（x），設x₁＜x₂，利用作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關系，根據單調性的定義可得結論；

解答：解；（Ⅰ）∵f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，即

b-1

2+2

=0⇒b=1∴f(x)=

1-2x

2+2x+1

，
∴b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵函數y=2^x在R上是增函數，且x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．

點評：本題考查函數奇偶性的性質、單調性的判斷，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．