Question

【題目】已知為常數，函數．

（1）當時，求函數的最小值；

（2）若有兩個極值點，（）：

①求實數的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由函數的導數的符號可知函數在的單調性，進而求得的最小值；（2）①由有兩個極值點，（）可知有兩個根，即得，再令，求的值域即可；②要證，即證，即證，構造函數，利用導數法求其最大值小于零即可．

試題解析：

（1），定義域為，，當時，，當時，，所以．

（2）①，由于有兩個極值點，可得有兩個不同解，即有兩個不同解，令，，，當時，，當時，，所以，且，由數形結合可得，且．

②要證，即證，，即證，即證，構造函數，注意，，令，注意，，所以，可得，所以單調遞增，可得，進而．