Question

已知f(x)=xlnx，g(x)=-x²+ax-3，
（1）求函數f(x)在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立。

Answer 1

解：（1）由已知知函數f(x)的定義域為（0，+∞），f′(x)=lnx+1，
當單調遞減，當單調遞增，
①，沒有最小值；
②，即時，；
③，即時，f(x)在[t，t+2]上單調遞增，；
所以；
（2），則，
設，則，
①單調遞減，
②單調遞增，
所以，對一切恒成立，
所以；
（3）問題等價于證明，
由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易知，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有成立。