Question

函數f(x)=

a-x2

|x+1|-1

為奇函數的充要條件是（　　）

• A、0＜a＜1
• B、0＜a≤1
• C、a＞1
• D、a≥1

Answer 1

分析：函數是奇函數，所以分母去絕對值后一定為x，結合奇函數的定義域，得到x的范圍，再根據二次根式的定義求a的范圍即可．

解答：解：（先看必要性）∵函數f(x)=

a-x2

|x+1|-1

為奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴|x+1|-1=x，即x≥-1
而奇函數的定義域關于原點對稱
∴函數f（x）的定義域為[-a，0）∪（0，a]⊆[-1，0）∪（0，1]
∴0＜a≤1
（再看充分性）∵0＜a≤1
而a-x²≥0
∴x²≤a≤1
∴-1≤x≤1且x≠0
∴|x+1|-1=x∴f(x)=

a-x2

x

∴f（x）為奇函數
故選B

點評：本題考查函數的奇偶性，以及充要條件的概念運用，解題時要挖掘出函數的定義域，此類題目定義域容易被忽視而難以解決．