Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，且有S_n=

1

4

（a_n+1）²，數列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

2

的等比數列．
（1）求證：{a_n}是等差數列，并求a_n；
（2）若C_n=a_n（2-b_n），求數列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用“累加求和”即可得到b_n，再利用“錯位相減法”即可得到T_n．

解答：解：（1）當n=1時，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，化為(a1-1)2=0，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2．
因此數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵數列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，
∴bn-bn-1=1×(

1

2

)n-1，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-2+…+

1

2

+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
∴cn=

2n-1

2n-1

．
∴T_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，
∴

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=2×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-1-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式、等比數列的前n項和公式、an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、“累加求和”、“錯位相減法”等基礎知識與基本方法是解題的關鍵．