Question

已知關于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m對于任意的x∈[-1，2]恒成立，則m的取值范圍是

[

3

，

6

]

．

Answer 1

分析：令f（x）=

2-x

+

x+1

，則f′（x）=

1

2 2-x

+

1

2 x+1

=

2-x - x+1

2 2-x x+1

，容易判斷出分母為正，再通過分子的正負得出f（x）的單調性，進而求得最值及范圍．

解答：解：令f（x）=

2-x

+

x+1

，則f′（x）=

1

2 2-x

+

1

2 x+1

=

2-x - x+1

2 2-x x+1

當x∈-1，2）時，分母大于零；令u（x）=

2-x

-

x+1

，容易得知u（x）在∈[-1，2]上單調遞減，
由u（x）=0得x=

1

2

，當-1＜x＜

1

2

時，u（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當2＞x＞

1

2

時，u（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以x=

1

2

是f（x）的極大值點，也是最大值點，f（x）max=f（

1

2

）=

3 2

+

3 2

=

6

f（-1）=f（2）=

3

，所以f（x）min=

3

綜上所述m的取值范圍是[

3

，6]
故答案為：[

3

，6]

點評：本題考查函數值域求解，高中階段方法比較多，這里根據具體題目，利用導數工具進行求解．導數是研究函數性質的有力工具．