Question

設P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²構成了一個公差為d(d≠0) 的等差數列, 其中O是坐標原點. 記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)C的方程為=1,n=3. 點P₁(3,0) 及S₃=255, 求點P₃的坐標； (只需寫出一個)

(2)若C的方程為(a>b>0). 點P₁(a,0), 對于給定的自然數n, 當公差d變化時, 求S_n的最小值；

(3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P₁,對于給定的自然數n,寫出符合條件的點P₁, P₂,…P_n存在的充要條件,并說明理由.

　　  

 

Answer 1

答案：
解析：

【解】(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70. 由得  ∴點P3的坐標可以為(2, ).  (2)【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.    ∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,     ∴≤d<0. ∵n≥3,>0     ∴Sn=na2+d在[,0)上遞增,   故Sn的最小值為na2+·=.   【解法二】對每個自然數k(2≤k≤n),由解得y= 　　　　 　　 ∵0< y≤b2,得≤d<0　　  ∴≤d<0    以下與解法一相同.    (3)解法一】若雙曲線C:－=1,點P1(a,0),    則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是d>0.    ∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[,+∞),且=a2,    ∴點P1, P2,…Pn存在當且僅當2>2,即d>0.    【解法二】若拋物線C:y2=2x,點P1(0,0),    則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是d>0.理由同上    【解法三】若圓C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),     則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是0<d≤.     ∵原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2,    且=0, ∴d>0且2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤.