Question

22.設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d(d≠0)的等差數列，其中O是坐標原點.記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

 (1)若C的方程為－y²=1,n=3,點P₁(3，0)及S₃=162，求點P₃的坐標；(只需寫出一個)

 (2)若C的方程為y²=2px(p≠0)，點P₁(0，0),對于給定的自然數n，證明：(x₁+p)²,(x₂+p)²,…,(x_n+p)²成等差數列；

 (3)若C的方程為+=1(a＞b＞0)，點P₁(a，0)，對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值.

Answer 1

22. [解] (1)a₁=|OP₁|²=9,由S₃=(a₁+a₃)=162,

得a₃=|OP₃|²=99.

由解得

∴點P₃的坐標可以為(3，3).

(2) 證明：對每個自然數k，1≤k≤n.由題意|OP_k|²=(k－1)d，及

得x_k²+2px_k=(k－1)d,

即(x_k+p)²=p²+(k－1)d.∴(x₁+p²),(x₂+p)²,…,(x_n+p)²是首項為p²,公差為d的等差數列.

(3)[解法一] 原點O到二次曲線C：=1(a＞b＞0)上各點的最小距離為b，最大距離為a.

∵a₁=|OP₁|²=a²∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n－1)d≥b²,

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,∴S_n=na²+d在［,0)上遞增.

故S_n的最小值為na²+×=.

[解法二] 對每個自然數k(2≤k≤n),

由解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

以下與解法一相同.