Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），則f（x）是（　�。�

• A、奇函數(shù)
• B、偶函數(shù)
• C、不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
• D、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

Answer 1

分析：分別令y=-x與y=x，即可求得f（-x）+f（x）=0，從而得到答案．

解答：解：∵f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
令x=y=-t得：f（t²）=-tf（-t）-tf（-t），①
再令x=y=t得：f（t²）=tf（t）+tf（t），②
由①②得：-tf（-t）-tf（-t）=tf（t）+tf（t），
即2t[f（t）+f（-t）]=0，
∵t不恒為0，
∴f（t）+f（-t）=0，
即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法，屬于中檔題．